Начал свою карьеру на национальном радио. Работал на телеканале "Пирамида". 4 года вел передачу "Наше время". В 2004-2005 гг. стоял у истоков телеканала "НТС". В 2006 г. стал независимым журналистом. Занимался преподаванием курса журналистики. В 2007 г. избран председателем комиссии по рассмотрению жалоб на СМИ.
8 апреля 2013 г. назначен директором Государственного национального русского театра драмы им. Чингиза Айтматова.
Министр культуры Султан Раев прокомментировал назначение нового директора Русского театра драмы им. Чингиза Айтматова: "Александр Кулинский обладает необходимыми способностями, чтобы возглавить культурное учреждение,– сказал чиновник.– Он изложил нам свою программу развития театра. Я ему сказал: "Даю тебе год, потом посмотрим, как ты справишься с поставленными задачами". В Русдраме сейчас очень сложная обстановка. Коллектив деморализован".